このページでは一次方程式について説明します。
一次方程式とは、例えば、2x-4=5-xのようなものをいいます。このxは、具体的な値がわからないので使っている文字です。(1-1.文字とは？で説明した１番目の使い方)また、2x-4は「=」の左にあるので左辺、5-xは「=」の右にあるので右辺といいます。一次方程式の特徴は、以下の２つです。
- 複数の文字がない。(具体的な値がわからないものが１つだけ)
2x-4=5-xの例のように、xしか文字がありません。xは複数表れていますが、どのxも同じ値になるので、具体的な値がわからないものは１つだけだと考えます。 - x×x(=x^2)など、文字を複数回かけていない。
2x-4=5-xの例のように、xには数字しかかけられていません。x=x^1なので、この１から「一次」方程式と名前がついています。ちなみに、x^2が入っている方程式は「二次」方程式といいます。
方程式を解くとはどういう意味か説明します。方程式を解くとは、文字がどんな値のときに、実際に方程式の左辺と右辺が正しくなるのか(方程式が成り立つのか)を調べることです。例えば、2x-4=5-xのxがどんな値のときに、実際2x-4=5-xが成り立つのかを調べるということです。
では、実際に調べてみましょう。x=1だと思って左辺を計算すると、２×１−４＝−２、右辺を計算すると、５−１＝４なので、xが1のときは方程式は成り立ちません。x=2だと思って同じように計算すると、左辺は０、右辺は３なので方程式は成り立ちません。x=3だと思って同じように計算すると、左辺は２、右辺も２なので方程式が成り立ちました。つまり、x=3が答えということになります。一次方程式が成り立つときの値は１つしかありません。つまり、一次方程式の答えは必ず１つなので、これで解けたことになります。
さて、今回は具体的に３つの数字を調べるだけでたまたまわかりました。しかし、もっと複雑な方程式ではこうも上手くいきません。そのため、方程式を解く方法が発明されています。
その方法とは、x=〜という形に方程式を変形していくという方法です。(左辺)=(右辺)なので、同じ数字に同じ数字を足しても引いてもかけても割っても同じになることを使うと、(左辺)＋○＝(右辺)＋○、(左辺)−○＝(右辺)−○、(左辺)×○＝(右辺)×○、(左辺)÷○＝(右辺)÷○が成り立ちます。このことを利用して変形していきます。
具体的にやってみましょう。2x-4=5-xの左辺と右辺にxを足してみましょう。(左辺)=(右辺)なので、当然(左辺)+x=(右辺)+xです。なので、2x-4+x=5-x+xです。右辺を整理すると５になるので、2x-4+x=5となります。このように、あたかも一方の辺(今の場合右辺)の項が他方の辺(今の場合左辺)に符号が反転(+→-,-→+)して移動したように見えるので、特別に「移項」と名前がついています。
ついでに、+→-になる移項の場合もみてみましょう。2x-4=5-xに戻って、左辺と右辺から５を引いてみましょう。(左辺)-5=(右辺)-5となるので、2x-4-5=5-x-5です。右辺を計算すると、-xなので、2x-4-5=-xとなります。
さて、2x-4+x=5に戻って、左辺を整理すると3x-4となるので、3x-4=5となります。左辺の-4を移項すると、3x=5+4となります。右辺を整理すると9になるので、3x=9となります。左辺と右辺を３で割ると、(左辺)÷３＝(右辺)÷３なので、3x÷3=9÷3となります。左辺を整理するとx、右辺を整理すると3になるので、結局、x=3となります。