このページでは負の数の計算について説明します。(ただ計算できるようになるためには、このページを読むより、問題集などで練習したほうがいいと先に断っておきます。なぜ、そのような計算結果になるのかを説明したページとなっていて、説明が難しいと思います。)
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負の数を足すとは何か？
負の数を足すとは何かを考えていきます。負の数「-a」(aは正の数)とは、-a＋a＝０となるものでした。＋の前と後の数字は入れ替えても答えは同じになります。（メロン１個入った箱に、スイカを２個入れても、スイカが２個入った箱にメロンを１個入れても、メロン１個とスイカが２個入った箱になるのと同じです。）
つまり、a＋(-a)＝０も正しい計算結果ということです。（ちなみに、-aを()で囲ったのは、「-a」で１つの数字だと分かりやすくするためです。a＋-aとすると見にくいですよね。）
さて、ここでa−a＝０となることを思い出してください。つまり、(-a)を足すことは、aを引くこととまったく同じであるということです。 -
負の数を引くとは何か？
負の数を引くとは何かを考えていきます。負の数「-a」(aは正の数)は、-a＋a＝０となるのだから、-a+aから-aを引いた数と、０から-aを引いた数は同じになるはずです。（同じ数から同じ数だけ引くとやはり結果も同じ数になるはずですね。）つまり、-a＋a−(-a)＝０−(-a)となるはずです。
ここで、足し算、引き算の計算順序は入れ替えてもいいということを利用すると、結局、-a−(-a)＋a＝０−(-a)となります。
さらに、同じものを引くと０になるので、-a−(-a)＝０となることを利用すると、結局、０＋a＝０−(-a)となるということになります。つまり、-aを引くということはaを足すということとまったく同じであるということです。
さて、ここまでで負の数を足したり、引いたりすることがどういうことかは説明しました。次は、負の数に足したり、引いたりすることがどういうことかを説明します。基本的に−１または１が何個になるのかを考えます。
まず、負の数に正の数を足すことを考えます。例として、−３＋５を考えてみます。−３とは−１が３個あるという意味でした。５とは、１が５個あるという意味でした。−１＋１＝０なので、−１が３個と１が３個で０になりますが、まだ１が２個余っています。つまり、−３＋５＝２となります。また、-aを引くことはaを足すことなので、負の数から負の数を引くのも同じように計算できます。例えば、−３−(−５)＝−３＋５となるので、同じように計算できます。
次に、負の数に負の数を足すことを考えます。例として、−２＋(−４)を考えてみます。−２とは−１が２個あるという意味でした。−４とは、−１が４個あるという意味でした。つまり、合わせると−１は２＋４＝６個あるので、−２＋(−４)＝−６となります。また、aを引くことは、-aを足すことなので、負の数から正の数を引くのも同じように計算できます。例えば、−２−４＝−２＋(−４)なので同じように計算できます。
次に、かけ算について説明します。同じように−１または１が何個になるのかを考えます。
まず、負の数と正の数のかけ算を考えます。例として、−２×３を考えます。−１が２個あって、それの３倍なので、結局−１が２×３＝６個あるということになります。つまり、−２×３＝−６となり、先に２×３をやり、最後に「−」を付けたような結果となります。また、正の数に負の数をかける場合も同じように計算できます。例えば、３×(−２)＝(−２)×３となり、同じように計算できます。
次に、負の数と負の数のかけ算を考えます。例として、−６×(−２)を考えます。−６×(−２)＝(−１)×６×(−１)×２＝(−１)×(−１)×６×２となります。ここで、(−１)×(−１)というかけ算が出てきたので、この計算がどうなるか考えます。
−１＋１＝０から考えます。−１＋１＝０なので、−１＋１に−１をかけても、０に−１をかけても同じ結果になるはずです。つまり、(−１＋１)×(−１)＝０×(−１)です。(○＋△)×□＝○×□＋△×□という関係があるので、(私の算数解説サイトで解説しているので、よろしければご覧ください(別タブで開きます)。)(−１＋１)×(−１)＝(−１)×(−１)＋１×(−１）＝(−１)×(−１)＋(−１)となります。また０になにをかけても０なので、結局、(−１)×(−１)＋(−１)＝０となります。
(−１)×(−１)＋(−１)＝０なので、(−１)×(−１)＋(−１)に１を足しても、０に１を足しても同じ結果になるはずです。つまり、(−１)×(−１)＋(−１)＋１＝０＋１です。ここで、−１＋１＝０なので、(−１)×(−１)＋(−１)＋１＝(−１)×(−１)です。０＋１＝１なので、結局、(−１)×(−１)＝１となることがわかりました。
(−１)×(−１)＝１となることがわかったので、−６×(−２)＝(−１)×(−１)×６×２＝６×２となることがわかりました。つまり、「−」は無かったかのように計算したような結果となります。
最後に、割り算を考えます。割り算は分数の知識でかけ算にできるので、基本的にかけ算と同じです。負の数同士の割り算なら、「−」は無かったかのように計算したような結果となりますし、負の数と正の数の割り算なら、「−」は無かったかのように計算した後、最後に「−」を付けたような結果となります。
例として、６÷(−３)を考えます。６÷(−３)＝６×１/(−３)です。分子、分母に同じものをかけても変わらないので、１/(−３)＝−１×１/(−１)×(−３)です。(−１)×(−３)＝３なので、結局、−１×１/３となります。６÷(−３)＝６×(−１)×１/３＝６×１/３×(−１)＝２×(−１)＝−２となります。